多项式方程求根的裁剪方法及应用研究

【摘要】多项式求根和计算点到曲线的最小距离是计算机辅助设计与图形学领域的基本问题之一。它有着广泛的应用，比如游戏中普遍存在的碰撞检测、数控加工中加工刀具与加工物体的干涉检测、几何造型系统中点到曲面的距离查询，也可用于评价曲线的拟合精度和轮廓度误差、曲线曲面的匹配等。本文的主要研究内容包括：首先，针对多项式求根问题，提出了基于R1空间相切的三次几何裁剪方法。跟传统的方法相比，新方法具有相同的逼近阶，同时显著地提高了计算效率。直接构造出两条三次多项式，使得很多情形下都可以在给定区间内直接包住给定的多项式，从而避免了现有方法中耗时的误差估算。在一定条件下，直接构造的多项式同时还是误差最小的包围多项式，改善了逼近误差。其次，针对多项式求根问题，提出了基于R2空间内的三次几何裁剪新方法。同以往的基于R1空间内的方法相比，新方法具有更高的逼近阶，即5阶。几何裁剪方法仍保留了Bernstein基函数较好的计算稳定性，同时提高了收敛速度，显示了较明显的优势。很多情况下，给定多项式f(t)的根，可被新方法中直接构造的三次多项式对应的实根包住，因此节省了计算包围多项式的大量计算。实例也说明了新方法具有更高的计算效率和更快的收敛速度。最后，提出了基于曲线逼近的点到曲线最小距离计算方法。将本文的几何裁剪思路应用到点/曲线最小距离的计算中。首先用若干段二次曲线去逼近给定的曲线，点/二次曲线的最小距离可以有显式的解析解，求解计算可以较为简便高效。同时，利用几何逼近的理论来估算给定曲线与二次逼近曲线间相应的误差，从而快速排除不包含最近点（最小距离发生处对应的点）的区间，明显地改善了求解的稳定性和计算效率。
【作者】徐明国；
【导师】陈小雕；
【作者基本信息】杭州电子科技大学，计算机技术，2014，硕士
【关键词】多项式求根；几何裁剪；相切法；包围多项式；最小距离；

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